EULER AÇILARI => Forumda Tartış

EULER AÇILARI

Bir O noktası etrafında serbestçe dönebilen bir katı cismin konumunun belirtilmesinde kullanılan açılar. Cismin içinde bu O noktasından geçen L çizgisi tesbit edilirse, cisim bu çizgi etrafında dönebilir. Aynı zamanda cismin bu çizgi etrafındaki dönme açısına da alırsak, cismin son konumu tamamiyle belli olacaktır. L ‘nin doğrultusunu ve bu dönme açısını nitelemek için üç parametreye ihtiyaç duyulur. En elverişli parametreler E.A. ile birlikte O noktasının x,y,z karteziyen koordinatları katı cismin uzaydaki duruşunu tamamiyle tanımlar.



EULER ÇEMBERİ


Bir üçgende kenarların orta noktası yüksekliklerin ayaklarından ve Euler noktasından geçen (c) çemberi. (c)’nin merkezi {OH}’nin ortasıdır, O, üçgenin dışına çizilen çember, H de yükseklik merkezi.(Eş anlamı: DOKUZ NOKTA ÇEMBERİ)



EULER DEĞİŞMEZİ


Mat. Çözlm. Kimi kez (yada C) olarak gösterilen ve “n” sonsuza yaklaştığında (1+½+...+ 1/n –1) nin limiti olarak elde edilen sayı  = 0,5772156649..dur. Bu sayının oransal, orandışıi cebirsel yada üstün olup olmadığı bilinmemektedir.



EULER DİFERANSİYEL DENKLEMİ


Mat. Çözlm. a,b,c verilen değişmezler olmak üzre ax .y +bx.y + cy = O biçimindeki diferansiyel denklem. Bu denklem, örneğin t = | |x| değişken değiştirimi ile değişmez katsayılı doğrusal bir denkleme dönüştürülebilir.







EULER DOĞRUSU


Geom. Verilen bir üçgende, G ağırlık merkezinden, H yükseklik merkezinden ve dışa çizili çemberin O merkezinden geçen doğru (G,O dan başlayarak {OH} nin üçte ikisinde bulunmaktadır.)



EULER FORMÜLLERİ


√-1 = i notasyonunu ve tabi logaritmanın tabanı olan “e” sayının ilk defa Euler kullanmıştır.

e = Cosx + i Sinx
e = Cosx - i Sinx

formüllerine Euler Formülleri denir. Bunlar toplanarak yada çıkarılarak

Cosx = ½ (e +e )
Sinx = ½ (e -e )

gibi pek çok ilgi çekici bağıntılar bulunur.

e =e (Cosy + iSiny)

denklemi, Z bir sanal (kompleks) sayı olmak üzere, e nin tanımında kullanılır.



EULER GRAFI


Ceb. Bütün ayrıtları bir ve ancak birkez kullanan bir zincirden (çevrim) oluşan bir grafa denir.






EULER HAREKET DENKLEMİ


(Fr. Equations de mouvement d’Euler, ing.Euler’s equantions of motion), sabit bir O noktası etrafında dönebilen bir katı cismin hareketini belirten denklemler:

A W’1 – (B-C) W2 W3 = G1
B W’2 – (C-A) W3 W1 = G2
C W’3 – (A-B) W1 W2 = G3

A,B,C = O ya göre asli eylemsizlik momentesi; W1,W2,W3 = katı cismin W açısal hızının i,J,K doğrultularındaki bileşenleri i,J,K = O daki asli eylemsizlik eksenleri doğrultularındaki birim vektörleri G1,G2,G3 =O ya göre dış kuvvetin toplam G momentinin i,J,K boyunca olan bileşenleri.



EULER GÖSTERGESİ


Says.kur.Ceb. Bir “n” tam sayısı için, “n” ile aralarında asal olup “n” den küçük sayıların sayısı “n”nin göstergesi ℓ(n) ile gösterilir.”n”nin asal çarpanları a,b,..., ise

ℓ(٨) = n (1- 1/a)(1-1/b)...(1-1/1)

elde edilir. İki sayı aralarında asal ise, bunların çarpımlarının göstergesi, göstergelerinin çarpımına eşittir. Euler teoremine göre, a,n ile asalsa a -1,n ile bölünebilir. “ “ nin asal olduğu var sayılırsa, ℓ(n) = n-1 elde edilir ve Fermat teoremi önceki teoremin özel hali olarak yeniden bulmuş olur. Bir “n” sayısının bölenlerinin göstergelerinin toplamı “n” ye eşittir.

“n” nin bölenleri arasına “n” sayısının kendi, ayrıca 1 sayısıda katılır ve ℓ(1) =1 konur.







EULER İNTEGRALİ


Euler Integrali, eğer s>O ise;
e .t dt
integrali yakınsaktır. (Belirli ve sınırlı bir değeri vardır.)

Bu integral bir toplam olarak:
I(s) = +e . t dt + e .t dt
Şeklinde yazılabilir; buna gamma fonksiyon denir. 1729 da ilk defa Euler tarafından tanımlanmıştır. Eğer “n” bir tabi sayı ise şu ilgi çekici özellik bulunur.
I(n+1) = n !



EULER NOKTALARI


Geom. yükseklik merkezini bir üçgenin her bir köşesine birleştiren doğru parçalarının orta noktaları.



EULER SABİTİ


n → ∞ ( - logon ) limitinin değerine Euler Sabiti denir. Ekseriya C veya  harfi ile gösterilir. Açık yazılışı şöyledir:

1 + ½ + ⅓ + ...... 1/n – Log n ‘nin n → ∞ halinde limit değeridir. Limit değeri Euler tarafında 0.5772156649015928 olarak bulunmuştur.


EULER ÜÇGENİ


Bir üçgende ortosenter, üçgenin tepelerini birleştiren doğru parçalarının orta noktalarına Euler noktaları denir.
Euler noktalarının meydana getirdiği üçgene Euler üçgeni denir;
PQR ∆ ni ABC ∆ NİN Euler üçgenidir.

EULER TEOREMİ


Mat. çözlm. Sürekli kısmi türevleri bulunan, “n”nci dereceden homojen bir “f” fonksiyonun aşağıdaki bağıntıyı gerçekleştirdiğini ifade eden teorem.


x.f’x( x,y,z ) + y.f’ ( x,y,z )
+Z .f’Z (x,y,z ) = n.f ( x,y,z )

( Söz konusu bağıntıya, EULER EŞİTLİĞİ adı verilir. )




EULER LEONHARD


15 Nisan 1707, Basel, İsviçre Ö.18 Eylül 1783 Petersburg, Rus Çarlığı. Kurumsal matematiğin kurucularından İsviçreli matematikçi ve fizikçi. Geometri, diferansiyel ve integral hesap, mekanik ve sayı kuramındaki kesin ve yol gösterici katkılarının yanı sıra, gözlemsel astronomi problemlerinin çözümüne ilişkin yöntemler geliştirmiş, matematiğin teknoloji ve günlük yaşam açısından önemli uygulamalarını ortaya koymuştur.

Matematikteki yeteneğinden ötürü Euler, Avrupa’nın ilk matematikçilerinden Jean Bernoulli ile oğulları Daniel ve Nicolas Bernoulli’nin övgülerini kazandı. 1727’de Jean Bernoulli’nin Daniel ve Nicolas Bernoulli, Katerina I tarafından, Petersburgda kurulmuş olan Yeni Bilimler Akademisi’ne çağrılınca, Euler de onlarla birlikte giderek önce fizik (1730), sonra da matematik dersleri (1733) verdi. 1733’te de Daniel Bernoulli’den boşalan matematik profesörlüğüne getirildi. Euler akademiye sunduğu sayısız kitap ve makale ile integral hesabı çok yetkin bir düzeye ulaştırdı; ayrıca trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar kuramını geliştirdi, analitik işlemlerin daha sade bir biçime indirgemesini sağladı ve kurumsal matematiğin hemen her dalında yeni ufuklar açtı. Euler 1735’te sürekli ve yıpratıcı çalışması sonucu gözlerinden birini yitirdi. 1741’de ll.Friedrich (Büyük) (hd 1740-86) tarafından Berlin’e davet edilerek Berlin Bilimler Akademisi’ne üye seçildi ve burada 25 yıl boyunca hiç durmadan bilimsel yayınlarını sürdürdü. Yayınlarının çoğunu emekliliğini güvenceye alan Petersburg Akademisi’ne sundu.


Eş çevreliler sorununu inceledikten sonra, kendilerine oranla, bazı belirsiz fonksiyonların bütün öbür fonksiyonlardan daha büyük ve daha küçük olduğu eğrileri ve yüzeyleri saptamayı sağlayan Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimi propiedate gaudentes yada Traitedes isoperimetres (Eşçevreliler incelenmesi,1744) adlı çalışmasını tamamladı. Aynı yıl Theorie du mouvement des planetes et des cometes (Gezegenlerin ve Kuyruklu yıldızların Hareket Kuramı) adlı yapıtını yayımladı. Theorie de I’aimantation (Mıknatıslanma Kuramı) adlı çalışmasında, elektrik ve magnetik alanların yorumlanmasında esir kavramını ortaya attı ve bu yapıyla Paris Bilimler Akademisi’nin koyduğu ödülü kazandı. 1748’de genel olarak fonksiyonları, sayılar kuramını, eğriler ile yüzeylerin çözümsel incelemesini, üstel, logaritmik, trigonometrik fonksiyonları, vb.. inceleyen introductio in analysis infinitorum’u (Sonsuz Küçükler Çözümlemesine Giriş), 1755’te de matematikçiler tarafından XIX.yy’ın ortalarına kadar kullanılacak olan institutiones calculi differentialis’i (Diferansiyel Hesabın Kuruluşları) yayımladı.

1760 ‘ta Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum adlı yapıtını yayımlayan Leonhard Euler, 1766’da Katerina II tarafından yeniden Petersburg’a çağırıldığı sırada, öbür gözünü de yitirdi; ama bu sakatlık çalışmalarını engellemedi. Nitekim bir kaç yıl sonra Institutiones calculi integralis (İntegral Hesabın Kuruluşları, 1768-1770) adlı yapıtını yayımladı.

Anhalt-Dessav prensesi için yazdığı Lettres a’une princesse d’Allemagne’da (Bir Almanya Prensesi için Mektuplar, 1768-1772), özellikle fizik ve gök bilim konusundaki görüşlerini yalınlaştırarak açıkladı. 1768’de Rusça, 1770’te de Almanca olarak yayımlanan ve önce Lahrangre, daha sonra da Gouss’u etkileyen Cebir adlı yapıtında, kuadratik biçimler kuramını kurdu ve cebirin temel teoremini kanıtlamaya çalıştı. Ayrıca, olasılıklar hesabı ile istatislikler konusunda çalışmalar yapan, eukleidesci düzlem geometrisini inceleyen, fizik alanında Clairaut’nun hidrodinamiğin genel yasalarını düzenleyen Leonhard Euler, gözlerine uygulanan katarakt ameliyatı sonucu kısmen görme olanağı elde ettiyse de, geçirdiği beyin kanaması sonucu öldü.















KARMAŞIK SAYILAR


A ve B birer gerçel sayı ve i = √-1 ( i² = -1 ) olmak üzere Z = a + bi ile tanımlı Z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi, C ile gösterilir.

C = { Z : Z = a + bi, a,b Є R ve i = √-1 } dir.
Z = a + bi karmaşık sayısında, a’ya Z’nin gerçel (reel) kısmı, b’ye Znin sanal (imajiner) kısmı denir ve
Re (Z) = a, ım (Z) = b olarak yazılır.



İ SAYISININ KUVVETLERİ


i˚ = 1 (i )ⁿ = (1) ⁿ = 1 dir. Buradan
i¹ = i i ⁿ ¹ = i ⁿ.i = 1.i = i
i² = -1 n Є N olmak üzere i ⁿ ² = i ⁿ.i² =1. (-1) = -1
i³ = i².i = (-1).i = -i i ⁿ ³ = i ⁿ.1³ =1. (-i) = -i
i = (i²)² = (-1) ² =1



KARMAŞIK SAYILARIN KUVVETLERİ


Zı = a + bi ve Z2 = c + di karmaşık sayıları için,
Zı = Z2 => Re (Zı) = (Z2) ve im (Zı) = im (Z2)
=> a = c ve b = d dir.

ÖRNEK: Zı = 2X + 1 + 3i ve Z2 = y + (x-2)i karmaşık sayıları veriliyor.
Zı = Z2 ise x-y kaçtır?

ÇÖZÜM: 2X + 1 + 3i = y + (x-2)i => 2x + 1 = y ve 3 = x-2
=> x = i ve y = 11
=> x.y = 55 bulunur.








KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ


Z = a + bi karmaşık sayısı içi Z = a – bi sayısına Z’nin eşleniği denir.

ÖRNEK: Zı = 5 - 2i => Zı = 5 + 2i

ÖZELLİKLER
Her Zı, Z2 Є C için

1) Zı + Z2 = Zı + Z2

2) Zı . Z2 = Zı . Z2

3) ( Zı ) = Zı , Z2 ≠ O
Z2 Z2

4) ( Z ) = Z

5) ( Zⁿ ) = ( Z ) ⁿ dir.



KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM


Zı = a + bi ve Z2 = c + di karmaşık sayıları verilmiş olsun,

1) Toplama: Zı + Z2 = (a + bi) + (c + di)
= (a + c ) + (b + d)i

ÖRNEK: Zı + Z2 = (5 + 2i) + (-6 + 4i) = -1 + 6i


2) Çıkarma: Zı - Z2 = Zı + (-Z2)
= (a + bi) + (-c –di)
= (a – c) + (b – d)i

ÖRNEK: (√5 - √3i) (√5 + √3i) = 5+3 = 8



3) Çarpma: Zı . Z2 = (a + bi) (c + di)
= ac + adi + bci + bdi²
= ac – bd + adi + bci
= (ac – bd) + (ad + bc)i
Zı . Zı = (a + bi) (a-bi)
Zı . Zı = a² - b² i²

Zı . Zı = a² + b²

ÖRNEK: (1 – 2i)² = 1 - 4i + 4i²
= 1 - 4i - 4
= -3 - 4i
4) Bölme: Bölme işleminde paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır.
Zı





KARMAŞIK DÜZLEM


Z = a + bi karmaşık sayısı için, Re (Z) = a sayısını x ekseninde, İm (Z) = b sayısını y ekseninde alarak oluşan (a,b) noktası karmaşık sayısını gösterir.











Böylece karmaşık sayılarla bire-bir eşlenmiş düzleme karmaşık düzlem denir.



KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ







Z = a + bi karmaşık sayısının O başlangıç noktasına olan uzaklığına, karmaşık sayının mutlak değeri (büyüklüğü yada modülü) denir ve IZI ile gösterilir.

r = IZI = √a² + b²

ÖRNEK: IZıI = √6² + (-8)² = √36 + 64 = 10


İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ FARK




İki karmaşık sayı arasındaki uzaklık, bu sayıların görüntüleri olan noktalar arsındaki uzaklığa eşittir.
Zı = aı + bı i ve Z2 = a2 + b2 i
sayılar arasındaki uzaklık,
IZı - Z2I = IMı M2I = √(aı - a2) ² + (bı - b2)2


NOT:
1) IZ – Z0I gösterimi Z sayısının Z0 sayısına olan uzaklığını beltir.
2) IZ – Z0I = r koşuluna uyan Z karmaşık sayıların kümesi, Z0 sayısına uzaklığı r olan noktaların kümesidir. Bu ise Z0 merkezli r yarı çaplı merezdir.
3) IZ – Z0I r koşuluna uyan Z karmaşık sayılarının kümesi Z0 merkezli r yarı çaplı çemberin dışıdır.

ÖRNEK:
2 ı ˚ ˉ ² ³ ¹ º ⁿ √ Є

---

Google

Cuil

Live Search

Yahoo Search