SÜREKLİLİK
4.1. SÜREKLİ FONKSİYONLAR
Bu bölümde hemen hemen tüm matematik dallarını ilgilendiren,çok önemli kavramlardan biri olan süreklilik kavramı üzerinde duracağız.
TANIM 4.1: A R, f:A R bir fonksiyon ve a A olsun.
ise f fonksiyonu a noktasında süreklidir denir.
Yukarıdaki tanıma göre, bir f fonksiyonunun bir a noktasında sürekli olması için ,
a) f fonksiyonu a noktasında tanımlı olmalıdır.
b) f fonksiyonunun a noktasında limiti olmalıdır.
c) fonksiyonunun a noktasındaki limiti a noktasındaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır.
Limit tanımı hatırlanacak olursa,süreklilik kavramı şu şekilde tanımlanabilir.
TANIM 4.2: A R, f:A R bir fonksiyon ve a A olsun.
f fonksiyonu a noktasında süreklidir Her ε>0 için en az bir >0 vardır öyle ki x-a < f(x)-f(a) <ε
Şimdi süreklilik ile ilgili bazı örnekler verelim.
ÖRNEK 4.1:
f: R R ,f(x)=c şeklinde tanımlanan sabit fonksiyon R de süreklidir.Bunu göstermek için verilen fonksiyonun R de keyfi olarak seçilen herhangi bir noktada sürekli olduğunu göstermek yeterlidir.Buna göre verilen fonksiyonun bir a noktasında sürekli olduğunu gösterelim.
f(x)= c =c =f(a)
olduğundan verilen fonksiyon her a noktasında ve dolayısıyla R de süreklidir.
ÖRNEK 4.2 :
f(x)=x- x şeklinde tanımlanan f :R R fonksiyonu tam sayılarda sürekli değildir.Çünkü bu noktalarda limit yoktur.
ÖRNEK 4.3 :
R üzerinde
şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun x=0 noktasındaki sürekliliğini inceleyiniz.
Çözüm : Önce bu fonksiyonun x=0 noktasındaki limitini bulalım.
f(x) = 1 =1 ve f(x) = (-x2 ) =0
olacağından x=0 noktasında limit mevcut değildir.Dolayısıyla fonksiyon bu noktada sürekli değildir.
TANIM 4.3 : A R, f: A R bir fonksiyon ve a A olsun.
(1) f(x) = f(a) f fonksiyonu a noktasında sağdan süreklidir,
(2) f(x) = f(a) f fonksiyonu a noktasında soldan süreklidir.
Örnek 4.3 de f(x) = f(0) =0 olduğundan o fonksiyon x=0 noktasında soldan süreklidir.
Yukarıdaki tanımlar göz önüne alındığında şu önerme ifade edilebilir.
Bir fonksiyonun x=a noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart a noktasında sağdan ve soldan sürekli olmasıdır.
TANIM 4.4 : Bir f :A R fonksiyonu a A noktasında sürekli değilse,fonksiyon bu noktada süreksizdir denir.
Bir fonksiyon bir a noktasında süreksiz ise şu durumlardan biri mevcuttur:
(1) f(x) vardır, fakat bu limit, fonksiyonun a noktasındaki değeri olan f(a) dan farklı olabilir, yada fonksiyon a’ da tanımlı olmayabilir.Bu durumdaki fonksiyonun süreksizliğine kaldırılabilir süreksizlik adı verilir.Bu fonksiyonun a noktasındaki değeri limit değerine eşit olarak tanımlanırsa (yeni) fonksiyon sürekli olur.
(2) a noktasındaki sağ ve sol limitler mevcut fakat farklı olabilir.Bu durumdaki süreksizliğe sıçrama süreksizliği adı verilir.
(3) Sağ ve sol limitlerden en az biri +∞ veya −∞ ise, veya mevcut değilse, bu fonksiyon a noktasında bir sonsuz süreksizliğine sahiptir denir.
Limit konusundaki teoremler göz önüne alındığında ona benzeyen şu teorem ifade edilebilir.
TEOREM 4.1 : A R, f :A R ile g :A R fonksiyonu a A da sürekli ve ά, R ise αf + βg , f.g fonksiyonları da a noktasında süreklidir.Ayrıca , eğer g(a) 0 ise f \g fonksiyonu da a noktasında süreklidir.
